نابرابری چبیشف– شامل 6 صفحه در قالب ورد و قابل ویرایش

در نظریه احتمالات، نابرابری چبیشف، تضمین می‌کند که در هر نمونه تصادفی یا توزیع احتمال، «تقریباً تمامی» مقادیر، در نزدیکی میانگین خواهند بود. بطور دقیقتر این قضیه بیان می‌کند که حداکثر مقادیری که در هر توزیع می‌تواند بیش از k برابر انحراف معیار با میانگین فاصله داشته باشد، است. این نامساوی بسیار کاربردی است، چون می‌تواند برای هر توزیع دلخواهی به کار برده شود (جز مواردی که میانگین و واریانس نامعلوم اند). بعنوان مثال از این نامساوی برای اثبات قانون ضعیف اعداد بزرگ استفاده می‌شود.

عنوان نامساوی از نام ریاضیدان روسی پاونوتی چبیشف، گرفته شده‌است، اگرچه در ابتدا نامساوی توسط دوست و همکلاسش فرموله شد. این نامساوی را می‌توان بصورت کاملاً کلی با کمک نظریه اندازه، بیان کرد.

فهرست :

مقدمه

شرح مسئله

شرح با نظریه اندازه

شرح احتمالی

نابرابری یک طرفه ی چبیشف

استفاده در تعیین فاصله ی بین میانگین و میانه

اثبات با نابرابری چبیشف

اثبات با نابرابری جنسن

اثبات (حالت دو سویه نابرابری چبیشف)

اثبات با نظریه اندازه

اثبات احتمالی